CIÊNCIA E ARTE
O HOMEM VITRUVIANO E O NÚMERO PHI: A MATEMÁTICA DAS FORMAS
Leonardo da Vinci. Autorretrato.
Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.
Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:
“O Homem Vitruviano”, de Leonardo da Vinci. 1490, Lápis e tinta sobre papel, 34 X 24 cm
- um palmo é o comprimento de quatro dedos
- um pé é o comprimento de quatro palmos
- um côvado é o comprimento de seis palmos
- um passo são quatro côvados
- a altura de um homem é quatro côvados
- o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
- a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
- a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
- a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
- o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
- a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
- a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
- a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
- o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
- a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
- a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
- o comprimento da orelha é um terço do da face
- o comprimento do pé é um sexto da altura
Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.
Para uma melhor visualização das proporções do Homem Vitruviano, acesse aqui.
O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).
Espiral de uma galáxia inserida no retângulo dourado
Miolo do girassol
Colmeia de abelhas
Mas o que é o número Phi ou número áureo? Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.
Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou ainda Leonardo Bigollo, mas, na maioria das vezes, simplesmente como Fibonacci foi um matemático italiano, tido como o primeiro grande matemático europeu da Idade Média.
Nascimento: 1175, Pisa, Itália
Falecimento: Pisa, Itália
Filiação: Alessandra Bonacci, Guglielmo Bonacci
Espiral de Fibonacci, inserida no retângulo dourado
O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:
2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625
O Homem Vitruviano e a Série de Fibonacci
Muitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.
É proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitectara clássicas, renascentistas e pós-modernistas que se baseia no seguinte princípio:"seccionar um segmento de reta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo".
Um homem de ciência: Leonardo da Vinci, afirmava que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento contínuo e beleza. Para se atingir este fim, Leonardo utilizou extensivamente o rectângulo de Ouro nas suas obras.
A designação adaptada para este número, φ (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquitecto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.
Estes elementos são encontrados facilmente na natureza.
O φ (Phi) é um número misterioso que tem algumas quantidades relacionadas e formas, e ele aparece nas proporções do corpo humano e outros animais, nas plantas, no DNA, no sistema solar, na arte e na arquitetura, na música, etc.
ESPIRAL
ESCORPIÃO
GIRASSOL
Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci é uma sequência de números, onde o número 1 é o primeiro e segundo termo da ordem e os demais são originados pela soma de seus antecessores.
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Conjuntos Numéricos
Dentre todos os mistérios da Matemática, a sequência de Fibonacci é considerada uma das mais fascinantes descobertas da história. A sequência de números proposta pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, possui o numeral 1 como o primeiro e o segundo termo da ordem, e os elementos seguintes são originados pela soma de seus dois antecessores, observe:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181...
Analisada como uma sequência numérica, ela não passa de uma simples organização de numerais que recebem um toque de lógica matemática. Mas o que faz dessa ordem de números, uma descoberta especial, é a sua ligação com os fenômenos da natureza e o valor aproximado da constante 1,6, quociente da divisão entre um número e seu antecessor na sequência, a partir do número 3.
Os grandes estudiosos sempre procuraram a proporção ideal a ser aplicada nas construções e nas artes. E foi com esse propósito que os gregos criaram o retângulo de ouro e os egípcios construíram suas pirâmides. O retângulo obedecia a uma relação entre o comprimento e a largura, sendo a divisão entre eles, igual a 1,6. Esse quociente também era registrado entre as pedras utilizadas na construção das pirâmides, considerando que a pedra inferior seria maior que a superior. Nesse caso, a divisão entre elas também seria 1,6, pois esse valor era considerado um símbolo de perfeição nas construções, chegando a receber o nome de divina proporção.
Fibonacci surge por volta do ano de 1200 estabelecendo a famosa sequência, a partir de observações feitas na evolução da população de um casal de coelhos. Ao observar a beleza da natureza, descobriu a divina proporção em várias plantas, como por exemplo, a espiral da folha de uma bromélia. A espiral cresce na mesma medida que o retângulo de ouro, obedecendo a proporção de 1,618. Veja esquema na ilustração da evolução da espiral:
Folha da bromélia
Os retângulos aumentam suas áreas de acordo com a sequência de Fibonacci. Todos eles possuem medidas exatas de acordo com a divina proporção.
Na natureza, observamos a sequência em outras situações, veja:
As espirais de um caracol aumentam de acordo com a divina proporção.
A proporção entre as abelhas fêmeas e machos de uma colmeia, também é respeitada a proporção de ouro.
Os artistas Michelangelo e Leonardo da Vinci aplicaram em suas obras a proporção de ouro, enfatizando em suas artes o número constante 1,6. Da Vinci observou a presença do número de ouro no corpo humano, realizando as seguintes medições:
Altura da pessoa dividida pela altura do umbigo em relação ao solo.
Medida inteira da perna dividida pela altura do joelho até o solo.
Medida do braço inteiro divida pelo tamanho do cotovelo até o dedo.
Medida do dedo inteiro dividida pelo tamanho da dobra central até a ponta.
Outras medições realizadas no corpo humano satisfazem a constante do número de ouro. Em virtude dessa descoberta, clínicas de estéticas realizam cirurgias plásticas faciais em pacientes que desejam enquadrar suas medidas, visando à busca pela perfeição.
O HOMEM VITRUVIANO E O NÚMERO PHI: A MATEMÁTICA DAS FORMAS
Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.
Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:
- um palmo é o comprimento de quatro dedos
- um pé é o comprimento de quatro palmos
- um côvado é o comprimento de seis palmos
- um passo são quatro côvados
- a altura de um homem é quatro côvados
- o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
- a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
- a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
- a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
- o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
- a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
- a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
- a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
- o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
- a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
- a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
- o comprimento da orelha é um terço do da face
- o comprimento do pé é um sexto da altura
Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.
Para uma melhor visualização das proporções do Homem Vitruviano, acesse aqui.
O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).
Espiral de uma galáxia inserida no retângulo dourado
Mas o que é o número Phi ou número áureo? Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.
Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou ainda Leonardo Bigollo, mas, na maioria das vezes, simplesmente como Fibonacci foi um matemático italiano, tido como o primeiro grande matemático europeu da Idade Média.
Nascimento: 1175, Pisa, Itália
Falecimento: Pisa, Itália
Filiação: Alessandra Bonacci, Guglielmo Bonacci
O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:
2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625
O Homem Vitruviano e a Série de FibonacciMuitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.
É proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitectara clássicas, renascentistas e pós-modernistas que se baseia no seguinte princípio:"seccionar um segmento de reta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo".
Um homem de ciência: Leonardo da Vinci, afirmava que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento contínuo e beleza. Para se atingir este fim, Leonardo utilizou extensivamente o rectângulo de Ouro nas suas obras.
A designação adaptada para este número, φ (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquitecto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.
Estes elementos são encontrados facilmente na natureza.
O φ (Phi) é um número misterioso que tem algumas quantidades relacionadas e formas, e ele aparece nas proporções do corpo humano e outros animais, nas plantas, no DNA, no sistema solar, na arte e na arquitetura, na música, etc.
ESPIRAL
ESCORPIÃO
GIRASSOL
Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci é uma sequência de números, onde o número 1 é o primeiro e segundo termo da ordem e os demais são originados pela soma de seus antecessores.
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Conjuntos Numéricos
Dentre todos os mistérios da Matemática, a sequência de Fibonacci é considerada uma das mais fascinantes descobertas da história. A sequência de números proposta pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, possui o numeral 1 como o primeiro e o segundo termo da ordem, e os elementos seguintes são originados pela soma de seus dois antecessores, observe:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181...
Analisada como uma sequência numérica, ela não passa de uma simples organização de numerais que recebem um toque de lógica matemática. Mas o que faz dessa ordem de números, uma descoberta especial, é a sua ligação com os fenômenos da natureza e o valor aproximado da constante 1,6, quociente da divisão entre um número e seu antecessor na sequência, a partir do número 3.
Os grandes estudiosos sempre procuraram a proporção ideal a ser aplicada nas construções e nas artes. E foi com esse propósito que os gregos criaram o retângulo de ouro e os egípcios construíram suas pirâmides. O retângulo obedecia a uma relação entre o comprimento e a largura, sendo a divisão entre eles, igual a 1,6. Esse quociente também era registrado entre as pedras utilizadas na construção das pirâmides, considerando que a pedra inferior seria maior que a superior. Nesse caso, a divisão entre elas também seria 1,6, pois esse valor era considerado um símbolo de perfeição nas construções, chegando a receber o nome de divina proporção.
Fibonacci surge por volta do ano de 1200 estabelecendo a famosa sequência, a partir de observações feitas na evolução da população de um casal de coelhos. Ao observar a beleza da natureza, descobriu a divina proporção em várias plantas, como por exemplo, a espiral da folha de uma bromélia. A espiral cresce na mesma medida que o retângulo de ouro, obedecendo a proporção de 1,618. Veja esquema na ilustração da evolução da espiral:
Folha da bromélia
Os retângulos aumentam suas áreas de acordo com a sequência de Fibonacci. Todos eles possuem medidas exatas de acordo com a divina proporção.
Na natureza, observamos a sequência em outras situações, veja:
As espirais de um caracol aumentam de acordo com a divina proporção.
A proporção entre as abelhas fêmeas e machos de uma colmeia, também é respeitada a proporção de ouro.
Os artistas Michelangelo e Leonardo da Vinci aplicaram em suas obras a proporção de ouro, enfatizando em suas artes o número constante 1,6. Da Vinci observou a presença do número de ouro no corpo humano, realizando as seguintes medições:
Altura da pessoa dividida pela altura do umbigo em relação ao solo.
Medida inteira da perna dividida pela altura do joelho até o solo.
Medida do braço inteiro divida pelo tamanho do cotovelo até o dedo.
Medida do dedo inteiro dividida pelo tamanho da dobra central até a ponta.
Outras medições realizadas no corpo humano satisfazem a constante do número de ouro. Em virtude dessa descoberta, clínicas de estéticas realizam cirurgias plásticas faciais em pacientes que desejam enquadrar suas medidas, visando à busca pela perfeição.
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